逻辑中常考的几大关系你了解吗？

3. “→”之外的关系：∧与∨

（1）比如这句话：我又要喝啤酒又要吃小龙虾。如果用a表示喝啤酒，b表示吃小龙虾，那么这句话应该表示为：a∧b。

⭐️“∧”念做“且”，常见表达形式有：

例：我喜欢逻辑，但是我不喜欢言语。

a：我喜欢逻辑

b：我喜欢言语

逻辑式表达为：a∧┐b

（2）比如这句话：啤酒和小龙虾你至少给我上一样。如果用a表示啤酒，b表示小龙虾，那么这句话应该表示为：a∨b。

⭐️“∨”念做“或”，常见表达形式有：

下面我们要说到的是一个难点，你可能会看到如下的几种表述：

这几种表达形式你需要牢牢记住，都可以写成：

（3）∨和∧的否定

┐（a∧b）=┐a∨┐b

┐（a∨b）=┐a∧┐b

转化的方式你可以直接这样记忆，括号中的每一个命题都否定，∨和∧互相转化。

例如：┐（┐a∧┐b）=a∨b

由此我们也可以看出：

a∨b和┐a∧┐b是一组矛盾关系

他们的差别就是一个“┐”。

注意，否定词的位置不同，翻译也不同。

比如下面两种情况要注意区分：

我不喜欢逻辑和言语

逻辑式列为 ┐（a∧b）

逻辑和言语我都不喜欢

逻辑式列为 ┐a∧┐b

4. 伟大的发明a=┐b

他要么喜欢逻辑，要么喜欢言语。这句话该如何表述？

传统的逻辑学称之为“不相容选言命题”

意思是二个命题有且只有一个为真。

a：他喜欢逻辑

b：他喜欢言语

那命题表述为：（a∧┐b）∨（┐a∧b）

考试的时候碰到这样的式子写起来是不是很麻烦？

于是卧龙完成了一个伟大的发明，他是这么表述的：

a=┐b

逻辑式和上面的表述意思完全一样，却简单了很多。

类似的文字表达还有以下几种：

选a或选b，但不会都选

a和b之间选一个

既然有a=┐b，那a和b的关系也有可能表达为a=b，例如：

a→b且b→a，我们也可以称之为a是b的充要条件（充分必要条件）

a和b都选或者都不选

而a=b和a=┐b这两个命题也刚好是一组矛盾命题。

至于这个发明的伟大，会在后面的复杂题型中体现出来。

5. 真值表基础：1→0

既然每个命题都有真假，而“a→b”也是一个命题，它是否也可以写成1或者0呢？如果可以，那它的真假我们如何界定呢？

既然是“a→b”，那么它的真值是由a和b的真值共同决定的 ，具体见下表：

这是我们全书中最关键，最精华的一张表，它打开了整个逻辑的世界，可以说后面所有的内容都与这张表有关。

这张表的意思是，对于命题a→b来说：

当前件为真，后件为真时，命题为真

当前件为真，后件为假时，命题为假

当前件为假，后件为真时，命题为真

当前件为假，后件为假时，命题为真

举例解释一下：

我说：如果我今天发奖金，我就请你吃饭。

事实上我没发奖金，我也请你吃饭了，那上面这句话是一句假话么？

a：我今天发奖金 a=0

b：我请你吃饭 b=1

结合真值表第3行，当a=0，b=1，此时a→b的真值为1，所以我说的并不是假话。

千万不要试图用语义去理解逻辑题中的命题，真值表的作用就在于，一个复合命题的真假，跟命题的内容没有任何关系，只由组成它的每一个子命题的真假来决定。

（1）a→b为假命题的情况

从表中我们可以看到，a→b为0的情况，有且只有一种，就是a=1，b=0的时候。

注意，a=1和b=0要同时成立才可以。

（2）逆否命题

学过逻辑的人，都知道一个命题和它的逆否命题是等价的。所谓逆否命题，“逆”指的是逻辑关系相反，“否”指的是子命题和原命题矛盾。

例如a→b的逆否命题就是┐b→┐a

四

必看题目

P99-104

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